Matematica: letture, quaderni di lavoro e formazione
a cura di Maria Castelli e Lucia Stelli
Letture di approfondimento, suggerimenti di lavoro per una Matematica divertente e facile da apprendere
Il progetto ArAl: un intreccio fra aritmetica e algebra ∏ Pensando alla matematica ∏ Pensando alla matematica 2 ∏ L’insegnamento della Matematica: criticità, nuove sfide, idee ∏ Le domande dei problemi e ... sui problemi ∏ L’insegnamento della matematica tra ricerca didattica e prassi scolastica ∏ Il futuro nei rettangoli di Emma ∏ Il magico romanzo della Matematica ∏ Verso un insegnamento della matematica che produce cultura scientifica ∏ Meraviglie del cavolo! ∏ Geometria della vita ∏ Passatempi ∏ Ce li hai i numeri? ∏ Il mago dei numeri ∏ La ciurma del Pirata ∏ La formica e il miele ∏ Nel mondo della Matematica ∏ La Matematica quotidiana ∏ Mondi nel mondo ∏ Piega e spiega la matematica ∏ Sono il numero 1 ∏ Per una didattica psicologica ∏
Il progetto ArAl: un intreccio fra aritmetica e algebra
Lucia Stelli
Abstract: Nell’articolo è presentato il Progetto ArAl, una proposta di innovazione didattica che vede l’insegnamento dell’aritmetica in chiave pre-algebrica. L'obiettivo è quello di dare una visione dell’algebra come linguaggio mostrando modalità didattiche di tipo socio-costruttivo a partire dall’esplorazione di opportune situazioni problematiche. Il libro di Giancarlo Navarra “Aritmetica e Algebra: un percorso intrecciato dai 5 ai 14 anni” fa da filo conduttore a tutto il discorso.
Early algebra e Progetto ArAl
La ricerca in didattica della matematica non è una novità in quanto a partire dagli anni Ottanta in varie Università Italiane sono stati creati nuclei di ricerca didattica che hanno visto numerosi insegnanti collaborare con docenti universitari al fine di integrare il piano della pratica e quello della teoria. Nel corso degli anni, per conciliare la razionalità matematica con gli aspetti psicologici, sociali, relazionali del contesto educativo, sono nate anche varie collane di libri rivolti in primis agli insegnanti.
Matej Brešar parte prima
Concezioni sulla matematica
La maggior parte delle persone associa la matematica a numeri, calcoli, regole rigide e formule aride. È conosciuta come una materia scolastica difficile e spesso impopolare. Molti pensano che noi matematici ammazziamo il tempo facendo calcoli con numeri molto grandi. Persino tra le persone più istruite e con una spiccata inclinazione matematica, c’è un grande malinteso sia sul significato della matematica sia sul lavoro dei matematici. Si pensa che i matematici abbiano a che fare con espressioni lunghe e complicate, piene di frazioni, coefficienti binomiali, integrali e altri simboli matematici. Armati della conoscenza di una miriade di formule e tecniche di calcolo, trasformiamo e riorganizziamo queste espressioni con la pazienza e la meticolosità che ci sono proprie, fino a ottenere il risultato desiderato. Non c’è quasi nessuno che non si aspetti che un matematico sia in grado di risolvere un problema di calcolo di routine, come l’addizione o la moltiplicazione di alcuni numeri, più velocemente e più abilmente di altri. Questi sono tutti stereotipi che hanno poco fondamento nella realtà.
6 Numeri primi e atemporalità
Quando noi matematici cerchiamo di convincere un profano di matematica che la matematica è interessante e bella, spesso ci troviamo in difficoltà. È difficile fare esempi appropriati. La matematica si occupa di concetti astratti cui diamo determinati nomi. Senza familiarità con questi nomi, la conversazione è impossibile. In realtà, la sola familiarità non è sufficiente. Possiamo discutere di questi concetti se li comprendiamo davvero bene, e ciò richiede anni di studio.
Ma lasciatemi provare lo stesso. Sceglierò un argomento che, evitando i dettagli, si spera possa essere presentato in modo sia facile da capire sia matematicamente profondo: i numeri primi.
CONVEGNO L’insegnamento della Matematica: criticità, nuove sfide, idee
Accademia Nazionale dei Lincei – Via della Lungara, 10, Roma, 23 marzo 2023
In una società basata su scienza e tecnologia la Matematica è un elemento fondamentale nella formazione di cittadini capaci di scelte consapevoli. Per questo motivo le modalità del suo insegnamento sono tema di dibattito in molti paesi occidentali. Tale dibattito richiede un ripensamento profondo sia dei metodi didattici, sia delle modalità di valutazione del processo di apprendimento, utilizzando anche le nuove possibilità offerte dall'Informatica. Appare quindi necessario un serrato confronto fra le istituzioni preposte, la comunità dei matematici e chi pratica l’insegnamento a tutti i livelli. (in calce Audiovideo degli interventi)
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Le domande dei problemi e ... sui problemi
Lucia Stelli
Risolvere problemi di matematica è un’attività che mette in difficoltà molti alunni. Le situazioni artificiose descritte nei problemi scolastici li portano infatti a porsi domande su un contesto che non richiama le loro conoscenze ed esperienze. Anche la domanda dei problemi appare artificiosa e lontana dall’esperienza. È quindi necessario che l’insegnante rifletta sulle domande che i bambini si pongono per riconoscere e proporre problemi autentici e significativi.
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L’insegnamento della matematica tra ricerca didattica e prassi scolastica
A tutti gli interessati L'Associazione Italiana di Ricerca in Didattica della Matematica in collaborazione con la Commissione Italiana per l’Insegnamento della Matematica dell’UMI organizza il ciclo di incontri di formazione: L’insegnamento della matematica tra ricerca didattica e prassi scolastica. L’offerta formativa, che si svolgerà in modalità webinar, è gratuita e vede come protagonisti ricercatori in didattica della matematica e insegnanti. È articolata in sei incontri due a carattere trasversale e quattro dedicati ciascuno a uno specifico ordine di scuola. L’iscrizione, per tutti gli appuntamenti, è aperta agli insegnanti di qualsiasi ordine scolare.
Il futuro nei rettangoli di Emma
C'è qualcuno che sa leggere
Franco Lorenzoni 1 dicembre 2013 maestro, collaboratore del "Sole 24 ore"
- «È mai possibile che di teorie ben sottili come il Dna o la fusione nucleare o l'origine dell'Universo, si possa dare un'idea abbastanza chiara anche a chi non ha studiato cose di scienza, mentre invece, della matematica, non si possa far capire nulla?». A porre questa domanda è Emma Castelnuovo, la più audace innovatrice italiana di didattica della matematica, che il prossimo 12 dicembre compirà 100 anni. Si può dire, senza esagerare, che ha speso tutta la sua lunga e operosissima vita a dare risposte positive a questa domanda, formulata nella prefazione di Pentole, ombre, formiche (La Nuova Italia, 1993).
Appena vinto il concorso Emma Castelnuovo fu espulsa dalla scuola, in quanto ebrea. Era il 1938 e gli ebrei romani reagirono a quel sopruso con grande determinazione, riuscendo a mettere in piedi in pochi mesi una scuola israelitica, dove la giovanissima Emma, figlia di Guido Castelnuovo, fu chiamata ad insegnare alle classi magistrali. Accortasi che i programmi di matematica non rispondevano alle esigenze degli allievi prese parte, in piena guerra, ad un intenso lavoro di ricerca che vide un piccolo gruppo riunirsi con regolarità a casa di Federigo Enriques, suo zio, matematico, filosofo e storico della scienza di grandissima levatura. [continua la lettura]
Il magico romanzo della Matematica
Bruno D'Amore Università di Bologna
La Matematica si impara nella scuola primaria solo se l'insegnante è disposto a concedere a ogni bambino il proprio tempo personale. Va sottolineato subito il fatto che apprendere la Matematica è un fatto complesso; esso si articola su varie direzioni, dato che coinvolge:
• l'apprendimento di concetti;
• l'apprendimento e la gestione di algoritmi;
• alcuni apprendimenti che qualcuno chiama nel loro complesso "strategici" e che si possono distinguere in due grandi filoni: risoluzione di problemi e dimostrazione (a vari livelli);
• l'apprendimento della comunicazione specifica in Matematica.
Le varie componenti di questa suddivisione non sono ad intersezioni rigidamente vuote; per esempio, l’argomentazione in Matematica rientra sia nella comunicazione sia nell'apprendimento strategico, come fase preliminare alla dimostrazione necessaria fin dalla scuola primaria. [continua la lettura]
Verso un insegnamento della matematica che produce cultura scientifica
Emma Castelnuovo
Estratto dalla Rivista “Estudos Italianos em Portugal” n.0 45-46-47 1982-83-84
Il titolo di questa mia esposizione può sembrare banale, e, allo stesso tempo, sibillino.
E' chiaro infatti che insegnando matematica ci si propone di dare una cultura scientifica, di formare una mentalità scientifica. Si è detto tante volte e si continua a ripetere che l'obiettivo dell'insegnamento della matematica è di abituare a ragionare, a dedurre, a preparare a un pensiero logico. Forse si è detto troppo, si è messo troppo l'accento sull'aspetto deduttivo lasciando da parte altri aspetti altrettanto importanti. Scriveva José Silva: “l'intuizione e la preziosa tessitura·euristica vengono spesso ignorate, soppresse, portando così ad una visione unilaterale della costruzione matematica; perché la matematica non è solo logica: è un prodotto umano e quindi è intimamente legata con le scienze della natura e della tecnica”, Ora, delle tre fasi -nascita concreta del concetto o della legge, idealizzazione matematica, ritorno al concreto attraverso le applicazioni -nella scuola si è sempre, e sempre di più, esaltato quella di mezzo, quella cioè della presentazione di una matematica pura, astratta, senza pensare che l'aggettivo “astratto” viene dal latino e significa “estratto” (dal concreto) ; ha cioè, etimologicamente, un senso dinamico. E in questo mondo puro, in cui si vuole che i ragazzi non si sporchino le mani, sono venute su generazioni e generazioni di allievi, di uomini a cui la scuola secondaria non ha dato, il più delle volte, una vera formazione scientifica.
Ma io penso che per poter vedere le cose in modo obiettivo occorre allargare il discorso, e farsi un'idea, sia pure a grandi linee, di quanto è avvenuto nella storia dell'insegnamento matematico, almeno nella nostra vecchia Europa.
ovvero della dimensione frattale del cavolfiore
Michele Zanoni Montichiari (Bs) (da "La Fisica nella scuola" n. 2 del 2000)
Introduzione
Una delle fasi più importanti del procedimento che chiamiamo metodo sperimentale è senza dubbio l’osservazione.
In questa fase noi ci troviamo in uno stato paranormale in cui l’attenzione è notevolmente amplificata e nel frattempo la mente giace estatica e meravigliata.
Ciò accadde quando nel bel mezzo di un pranzo fra parenti mi trovai di fronte un bel cavolfiore fumante. Subito fui attatto dalle sue spirali lastricate da una sequenza di riproduzioni in scala ridotta del cavolfiore stesso e a loro volta questi piccolo cavolfiori riproducevano la forma originale in una miriade di esemplari in scala ancora più ridotta. Stimai che questo processo di autoreplicazione proseguisse per almeno cinque generazioni. La proprietà di certi oggetti geometrici per i quali una qualsiasi parte di essi è una specie di omotenia interna, cioè una riproduzione in scala dell’elemento d partenza, si traduce nel termine inglese self-similarity [1].
“Ma questo è un frattale!” tuonai sbigottito. Subito capii dalle facce dei presenti che il mio stato, più che paranormale, appariva, per lo meno, “poco normale”.
I frattali sono oggetti geometrici che presentano la proprietà dell’invarianza di scala, detta appunto, self-similarity, ne sono un esempio la famosa curva di Kock e il tappeto di Sierpinsky (fig. 2).
Appena mi capitò l’occasione comprai qualche esemplare di cavolfiore da un ortolano al quale chiesi come si chiamasse quel particolare titpo di cavolfiore; il tizio mi rispose in dialetto qualcosa che in italiano suona come “bastardone”! Seppi poi, grazie all’aiuto di un amico che lavora presso l’istituto agronomico universitario, che il nome italiano di questa specie è cavolo broccolo e quello officinale (botanico) è Brassica oleracea, Botrys cimosa, ed è una specie diffusa praticamente in tutta Europa. [continua la lettura]
M. T. Zambelli, Valeria Pacca
Geometria della vita, un'esperienza laboratoriale di integrazione/correlazione tra biologia e matematica
Premessa
La natura esibisce semplicemente un riflesso delle forme contemplate dalla geometria”,diceva il grande naturalista Sir D’ Arcy Thompson (1860-1948). Nel fare questa affermazione, egli pensava alle spirali regolari delle conchiglie dei molluschi, delle infiorescenze dei girasoli, della tela del ragno… la crescita rappresentava l’espressione di una formula, così come una figura geometrica era il moto di una generatrice.
“I problemi di forma – scriveva - sono prima di tutto problemi matematici, i problemi di accrescimento sono essenzialmente problemi fisici ed il morfologo diviene ipse facto uno studioso di fisica”. [continua a leggere]
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...e giochi possono insegnare molto senza troppo sforzo e divertendosi.
Quante combinazioni si possono scoprire giocando con i triangoli per costruire un parquet sempre nuovo?
Costruire cubi
Costruire i triangoli usando una scatola di fiammiferi potrà farti scoprire quanti ce ne vogliono per farne 4, 5 ,...10, 11. Soluzione
Costruire origami Rane consegna rane istruzioni
K. Dahl, Ce li hai i numeri?, Editoriale Scienza
Il motto è "Scopri la matematica che c'è in te"! La matematica di questo libro è quella creativa e ludica del "ragionare", quella che sta nelle cose di tutti i giorni. Siamo tutti matematici, basta riorganizzare quello che già si sa. Con i numeri si gioca. I numeri stimolano pensieri e trovate geniali. Tangram e Pitagora, frattali e codici segreti, teoremi e sistemi: tutto arricchito con giochi e indovinelli, vignette e barzellette. Spiegazioni divertenti per incoraggiare la curiosità dei ragazzi. A caccia di enigmi, creare gli schemi, dappertutto simmetrie, dalle dita delle mani e dei piedi ai numeri, la supposizione di Goldbach, plurimilionari in 20 giorni, la formula di Eulero.
H.M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Mondadori
Roberto detesta la matematica, non ci capisce nulla! Ma una notte, in sogno, incontra un piccolo e collerico diavolo che pretende di insegnargliela giocando. Nel corso di dodici notti, il diavolo lo accompagna nello strano e appassionante mondo dei numeri; le cifre prendono vita, le leggi e i meccanismi che le governano diventano sempre più affascinanti. Strapazzato da questo maestro così esigente Roberto impara a giocare con le radici quadrate, le frazioni e, improvvisamente, capisce tutto! E così anche il lettore che, insieme a Roberto, viene invogliato ad addentrarsi in quest'universo misterioso ma appassionante. Età di lettura: da 10 anni.
Cereda, Dimitolo, La ciurma del Pirata, Newton, Mimesis
Questo fascicolo, che accompagna il libro "L'aritmetica del Pirata Newton - Un esperimento di giochi in classe per la scuola primaria", presenta una serie di problemi di aritmetica ordinati per livello di difficoltà. E' stato pensato per i ragazzi, ma anche per tutti coloro che vogliono accostarsi alla matematica in modo divertente.
Bonaiti, Chiesa, Lanfranchi, La formica e il miele, Mimesis
60 giochi per insegnanti e ragazzi svegli
Alberti, Bozzolo, Costa, Collana "Nel mondo della Matematica", "Nel mondo dei numeri e delle operazioni" e "Nel mondo della Geometria", ed. Erickson
Nel mondo dei numeri e delle operazioni è un'opera nata per aiutare gli alunni tra i 6 e gli 11 anni ad avvicinarsi alla matematica con un approccio meno rigido rispetto al tradizionale, ma ugualmente scientifico. L'opera fa riferimento al modello della didattica per concetti, che prende in considerazione in modo equilibrato tutte le principali componenti del processo di insegnamento-apprendimento: l'insegnante, l'alunno e le specificità della materia.
Giorgio Bolondi, La Matematica quotidiana, Mimesis
Aprendo un giornale si viene sommersi da numeri, schemi, grafici, percentuali, statistiche, che non sono solo elementi decorativi, ma servono a trasmettere una parte importante delle informazioni, e la matematica è uno strumento indispensabile per la decodifica di queste informazioni. Che rapporto c'è tra la matematica scolastica e questa matematica quotidiana? È possibile utilizzare questi spunti per costruire un percorso in cui la matematica sia legata in modo naturale alla realtà? Questo libro è rivolto a insegnanti che leggono i giornali con "occhio matematico", ponendo domande e suggerendo legami con i curricoli scolastici.
Paola Gallo, Cristina Vezzani, Mondi nel mondo, Fra gioco e matematica, ed. Mimesis
Nell’esperienza di molti, grandi e piccoli, il gioco, che si svolge nel “cerchio magico del divertimento”, dell’allegria e della fantasia, è agli antipodi della matematica, continente misterioso, legato a regole ferree, talvolta spaventoso. Pure, a cominciare dalle conte, che spesso aprono le danze, i passi della matematica e quelli dei giochi si intrecciano, si inseguono, si perdono e si ritrovano. La spirale del Gioco dell’oca ha una storia antichissima e densi significati simbolici, che la matematica srotola in una semplice linea; i Dadi lanciati in aria richiamano matematicamente la probabilità, come giocosamente ci riportano a tentativi di previsione del futuro; la Dama, nonostante il suo nome leggiadro, è un gioco che simula strategie belliche, che diventano strategie logico-matematiche di scelta e di analisi delle conseguenze delle mosse fatte. Esaminando la struttura e la storia di vari giochi del mondo, si trova un nesso con problemi, strutture e metodi propri della matematica, tanto che questi due mondi, apparentemente così distanti, rivelano affinità inaspettate: sono entrambi immersi nella realtà comune, ma sono anche “a parte”, con caratteristiche proprie; corrispondono a bisogni ed esigenze universali ed usano linguaggi universali. La matematica non è un gioco e il gioco non è matematica, ma tutti e due sono attività “straordinariamente ordinate” che si fondano sull’astrazione e sul fecondo rapporto tra regole e fantasia; si possono dunque imparare, praticare e insegnare in forme e modi non poi tanto distanti.
Beutelspacher, M. Wagner, Piega e spiega la matematica, Ponte alle grazie
Albrecht Beutelspacher, insieme a Marcus Wagner, organizza un laboratorio matematico in piena regola, un percorso che ha inizio con la geometria piana e approda alla tridimensionalità, lasciando ampio spazio a giochi e trucchi matematici, e soffermandosi sul mistero di alcuni tra i più significativi codici cifrati della storia. Grazie a materiale facilmente reperibile, come carta, forbici e colla, potrete realizzare poligoni, ellissi e parabole, o cimentarvi in esperimenti decisamente più articolati, come la costruzione di un nastro di Möbius, di un pallone e di un libro a specchio, oppure tentare imprese al limite dell’assurdo, come attraversare una cartolina.Quelli che all’apparenza sembrano giochi, ben presto rivelano il loro valore aggiunto: infatti, è proprio grazie a questo approccio ludico che i due autori riescono a rendere semplici i concetti matematici più complessi, offrendo così al lettore la possibilità di accedere con il minimo sforzo a una materia per molti versi ostica.
Anna Cerasoli, Sono il numero 1, Feltrinelli
Saper risolvere un problema, seguire un ragionamento, capire un nuovo concetto: sono cose che procurano un grande piacere, specialmente in un bambino che comincia a scoprire la forza del suo pensiero. È questo piacere che il protagonista, uno studente delle elementari, comunica con entusiasmo e ironia, raccontando come è passato dalla paura e dalla noia nei confronti della matematica alla soddisfazione di conoscere una materia addirittura divertente. Il libro è adatto a bambini dagli otto anni in su, che possono leggerlo senza la mediazione dell'adulto. Impareranno un uso leggero e creativo della matematica, legato a problemi quotidiani, curiosità, aneddoti e anche un po' di storia. Gli insegnanti e i genitori, dal canto loro, vi troveranno vari spunti per lezioni, approfondimenti o, semplicemente, per parlarne con i più piccoli.
G.Craighero, Per una didattica psicologica delle operazioni aritmetiche nei problemi della scuola elementare, Ed. Giunti
L'Autore analizza i processi psicologici che caratterizzano nel bambino l'acquisizione delle operazioni aritmetiche utilizzando alcuni motivi conduttori: l'opportunità di porre i bambini di fronte a situazioni problematiche; la gradualità con la quale questa acquisizione dovrebbe avere luogo; la progressiva interiorizzazione di azioni che inizialmente sono solo fisiche compiute sulla realtà fisica.