Problemi per matematici in erba

Sofia Sabatti (*)

L'articolo che qui rilanciamo è apparso su  MaddMaths!, blog patrocinato da SIMAI, UMI e AIRO.

Abstract

Da pochi mesi è online Problemi per matematici in erba. È un sito “in evoluzione” che si propone di raccogliere problemi “belli”. È uno strumento che speriamo sia utile per quegli insegnanti che vogliono promuovere la comprensione, attivare processi di pensiero nei loro alunni, suscitare in essi il gusto per la ricerca e la scoperta e che siano convinti che la maniera naturale per avvicinarsi a questi obiettivi sia quella di far confrontare i ragazzi con problemi significativi.

Che cos'è problemi.xyz

Problemi per matematici in erba è un sito dinamico: i contenuti in esso presenti vengono aggiornati senza una particolare periodicità, ma per il momento abbastanza frequentemente (almeno un paio di volte al mese).

È un blog, nel quale gli insegnanti sono invitati a lasciare i propri commenti ai problemi presentati (soluzioni alternative a quelle proposte, difficoltà riscontrate nel proporli alle classi, segnalazioni di errori, risultati particolarmente positivi...).

È uno strumento didattico gratuito: qualunque insegnante può accedervi e utilizzare nella propria scuola le risorse in esso contenute.

Che cosa c'è su problemi.xyz

Innanzitutto ci sono i testi di alcuni  problemi.

Oltre ai testi ci sono le soluzioni (commentate) nonché alcune osservazioni emerse dalla discussione con insegnanti che hanno proposto i problemi nelle loro classi.

Per ogni problema abbiamo cercato di individuare il suo ambito di riferimento (numeri, spazio e figure, dati e previsioni, relazioni e funzioni), i nuclei curricolari ad esso più vicini, le classi in cui è possibile proporlo, i processi mentali che i ragazzi devono mettere in atto per affrontarlo (analizzare un testo, osservare, descrivere, classificare, rappresentare, stimare, contare,

misurare, congetturare, verificare, generalizzare, argomentare), la tipologia del testo che lo presenta (molto breve, in un contesto narrativo, astratto, di sfida). Per quanto molti di questi tentativi di “classificazione” dei problemi siano del tutto opinabili, essi ci hanno permesso di costruire un  motore di ricerca interno al sito, che dovrebbe rendere più fruibili i materiali in esso contenuti anche quando i problemi saranno tanti.

I problemi costituiscono il cuore del blog; in esso si trovano inoltre alcune pagine che presentano lo sfondo che dà senso e lega fra loro anche i problemi apparentemente più lontani. Le descriviamo qui molto brevemente, invitando tutti i lettori di NATURALMENTE a raggiungerle seguendo i link evidenziati.

Alcune pagine sono dedicate ad una riflessione rispetto a che cosa distingue  un bel problema da un esercizio qualsiasi, a  perché e come abbiamo pensato che un bel problema possa essere usato in classe, a qual è l'ambiente di apprendimento nel quale immaginiamo che questi problemi possano essere proposti.

“Sulle spalle di giganti” è una raccolta di citazioni e di indicazioni bibliografiche il cui primo scopo è quello di esplicitare il fatto che  Problemi per matematici in erba non nasce dal nulla, bensì da un lungo lavoro legato  – ben prima che alle nostre esperienze e riflessioni - a quelle di una vasta comunità di matematici. Col tempo, lavoreremo per rendere anche questa pagina sempre più fruibile dagli utenti del sito.

Che cosa ci sarà (o vorremmo ci fosse)

I problemi pubblicati sono attualmente (marzo 2019) una dozzina, ma ne abbiamo almeno un centinaio nel cassetto, che attendono pazientemente di essere sistemati.

Il sito si arricchirà anche, nel tempo, di una sezione intitolata “Quasi un libro” che conterrà alcune (poche) indicazioni teoriche di qualità su temi particolarmente delicati e significativi.

Di fronte a un nucleo concettuale importante, spesso l’atteggiamento dei libri

di testo è quello di “sbriciolarlo”, distinguendo e studiando separatamente una miriade di casi particolari, immaginando probabilmente di facilitare l’apprendimento dei ragazzi, ma di fatto perdendo di vista le idee forti. Molti insegnanti ci hanno detto di sentire la necessità di uno strumento che proceda proprio in senso inverso, aggregando i contenuti intorno a poche idee, e cercando così di costruire un filo che permetta di mantenere un saldo orientamento: “Quasi un libro” diventerà la nostra risposta a questa richiesta.

Il primo tema trattato sarà quello dell'uguaglianza: sembra un concetto molto facile e innocuo, eppure sono tante le situazioni, a livello di insegnamento nella scuola secondaria, in cui si avverte che alcuni scogli che i ragazzi incontrano sono proprio dovuti a un fraintendimento a proposito di questo delicato tema.

I problemi attualmente presenti sul sito si rivolgono soprattutto a studenti della scuola secondaria di primo grado, anche se in realtà molti di essi vanno bene (magari con qualche piccola variazione) sia per bambini più piccoli che per ragazzi più grandi.

Non si tratta di una convinzione “a priori”: molti dei problemi che abbiamo sperimentato nella scuola secondaria di primo grado sono stati proposti con successo anche nelle ultime classi della scuola primaria o nel primo biennio di alcune scuole superiori.

Siamo convinti che questa duttilità non sia casuale, ma sia legata al fatto che la maggior parte dei problemi raccolti nel sito fanno riferimento a idee portanti e profonde della matematica, non ad una qualche tecnicalità. Ed è chiaro che queste idee tornano e ritornano, nella didattica della matematica, in un percorso che è allo stesso tempo verticale e, come sottolineeremo poco più sotto, a spirale.

Ciò premesso, ci piacerebbe che  Problemi per matematici in erba si arricchisse in futuro anche di contenuti più spiccatamente dedicati agli alunni della scuola primaria e a quelli della scuola secondaria di secondo grado e di commenti dei loro insegnanti.

Un apprendimento a spirale

Come scrivevamo poc'anzi, siamo convinti che ci siano alcuni concetti chiave che condizionano pesantemente l’apprendimento della matematica: si tratta spesso di idee delicate, che costituiscono le fondamenta dell’intero edificio, e che non si imparano studiando un particolare paragrafo di un particolare capitolo, ma tornandoci sopra, più e più volte, nell’arco degli anni. Tornare su una data questione per comprenderla più a fondo, però, non significa rileggere alcune pagine in un testo di riferimento, ma soprattutto scontrarsi con situazioni problematiche in cui si debba innanzitutto riconoscere la presenza di questo concetto.

Problemi per matematici in erba cerca di offrire situazioni che si prestino ad essere usate al fine di stimolare questo apprendimento “a spirale”.

Gli errori per l'apprendimento

Scrive Jo Boaler, professore di Mathematic Education alla Stanford University, in un articolo pubblicato su MaddMaths!: “I ricercatori ora sanno che il momento in cui il cervello cambia e cresce maggiormente è quando le persone si trovano a lavorare su contenuti impegnativi, commettendo errori, correggendoli, superandoli, commettendo ulteriori errori, sempre lavorando in aree altamente stimolanti”.

Questa che viene dalle neuroscienze è una conferma a una sensazione che, guardando noi stessi e i nostri alunni, abbiamo da tempo: il detto “sbagliando si impara” ha uno spessore molto più rilevante di quanto non sembrerebbe a prima vista. Commettere errori e riconoscerli non è solo un ingrediente utile a non commettere gli stessi sbagli un'altra volta, ma è una tappa indispensabile per arrivare ad una comprensione delle “faccende” matematiche che non sia solo superficiale.

Scontrarsi con problemi “difficili”, ossia non risolubili da parte degli alunni semplicemente applicando una formula o un procedimento già noti, è un'ottima occasione per sbagliare e, di conseguenza, scendere un pochino più in profondità. E se qualche problema dovesse mettere in difficoltà anche i

docenti, sarebbe buona cosa cogliere l'occasione per far vedere agli studenti

che l'errore è parte del fare matematica anche dei loro insegnanti. Il docente potrebbe mostrare che sbagliare, oltre ad essere normale e per nulla drammatico, è spesso necessario per cogliere gli aspetti più significativi e più nuovi (per noi) delle questioni.

Non è un caso che il logo di  Problemi per matematici in erba sia proprio un “poliedro inesistente”, frutto di un bellissimo sbaglio di un ragazzino di quinta primaria, al quale si sono sommati poi una serie di nostri errori, la cui storia è narrata in C’è bisogno di “spirito geometrico”: qualche esempio, un articolo di Maria Dedò comparso in “L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate”, vol.41 A-B, n.5, novembre-dicembre 2018,  un estratto del quale si trova anche sul sito.