Un nostro lettore ci scrive per farci conoscere il suo lavoro di scrittore di testi di Matematica e Geometrica per la scuola.
Una buona occasione per aprire una discussione
La Redazione
Egregio Direttore,
Mi chiamo Salvatore Baccari, ho 67 anni sono disabile ma da tutta la vita insegno privatamente matematica ai ragazzi, media e superiore, e sono della provincia di Brindisi. Ho scritto dei libri di matematica con i programmi ministeriali per la scuola media, naturalmente da proporre ìn tutte le scuole medie d'Italia come libri di testo.
I libri sono così costituiti:
aritmetica suddivisa in tre libri
geometria suddivisa in tre libri
algebra in un unico libro
tavole pitagoriche e dei numeri primi
Questi libri hanno le seguente pagine:
aritmetica primo volume pagine 259
aritmetica secondo volume pagine 143
aritmetica terzo volume pagine 226
geometria primo volume pagine 165
geometria secondo volume pagine 180
geometria terzo volume pagine 134
algebra pagine 293
tavole pagine 12
Come avete visto, aritmetica e geometria sono stati suddivisi in tre libri ciascuna e questo perché i programmi sono vasti e più comodi per i ragazzi.
Il bello di questi libri é che le spiegazioni sono fatte passo passo in un modo molto facile per i ragazzi e poi sono molto carichi di esercizi, partendo dai più facili ai più impegnativi.
Un'altra cosa bella é che nella geometria mentre normalmente vengono scritte solo le formule principali, dalle quali un ragazzo si dove trovare quelle inverse (cosa impossibile per un ragazzo), ho messo tutte le formule possibilmente utili, per risolvere tutti i problemi.
Se la mia proposta sarà interessante e accolta da voi, vi spedirò qualche assaggio di questi libri, così vi potrete rendere conto del valore di questi libri.
Se mi volete contrattare la mia mail é salvbac@libero.it oppure mi potete chiamare al 349 245 7736.
Distinti saluti
Salvatore
Inoltre ho scritto un bellissimo libro di matematica per le scuole elementari dal titolo MANUALE FACILE DI MATEMATICA DI BASE molto divertente tutto a colori e con le spiegazioni facili e carico di esercizi.
CAPITOLO 7
ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONI
Come ben ti ricordi, nel capitolo 4 di questo libro hai studiato e imparato a fare i conti con le quattro operazioni che sono:
addizione
sottrazione
moltiplicazione
divisione
Queste operazioni le avevi già imparate alle scuole elementari e adesso le abbiamo ricordate.
Ti avviso che queste operazioni sono la base di tutti gli argomenti che studierai nel corso della scuola media, perciò se non li hai imparati bene, prima di andare avanti, ristudiati il capitolo 4.
Adesso che le hai imparate, passiamo a imparare le
ESPRESSIONI
Che cosa sono?
Sono delle operazioni con più operazioni.
In questo capitolo vedremo
Due tipi d’espressioni
Quali sono?
Eccoli.
Primo tipo espressioni con addizione e sottrazione
Secondo tipo espressioni con la quattro operazioni
Come si fanno?
Lo vedremo con calma.
Prima d’incominciare ti voglio far conoscere.
LE PARENTESI
Le quali sono:
( parentesi tonda aperta
) parentesi tonda chiusa
[ parentesi quadra aperta
] parentesi quadra chiusa
{ parentesi graffa aperta
} parentesi graffa chiusa
Come hai visto, le abbiamo scritte con il proprio nome.
Detto questo, passiamo a vedere il primo tipo d’espressioni.
Primo tipo
ESPRESSIONI CON ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Partiamo con la prima espressione:
8 + 11 – 2 – 7 + 4 =
Questa è un’espressione molto facile.
Come si fa?
Basta seguire tutte le operazioni.
Vediamo come si fa.
Riscriviamo l’espressione e la risolviamo.
8 + 11 – 2 – 7 + 4 = 14
8 + 11 = 19 19 – 2 = 17 17 – 7 = 10 10 + 4 = 14
Nel caso in cui questo schema non è stato chiaro, cercherò ti spiegarlo meglio.
Cerchiamo ti capire quello che abbiamo fatto.
Ti raccomando di guardare sempre l’espressione che abbiamo fatto.
Dunque:
All’8 abbiamo sommato 11 e abbiamo ottenuto 19.
Al 19 abbiamo sottratto 2 e abbiamo ottenuto 17.
Al 17 abbiamo sottratto 7 e abbiamo ottenuto 10.
Al 10 abbiamo sommato 4 e abbiamo ottenuto 14.
Guarda quest’espressione svolta con lo stesso procedimento.
13 – 7 – 2 + 8 + 4 – 1 – 3 = 12
13 – 7 = 6 6 – 2 = 4 4 + 8 = 12 12 + 4 = 16 16 – 1 = 15 15 – 3 = 12
Penso che è tutto chiaro.
Passiamo a vedere qualche espressione con le parentesi.
Iniziamo con una parentesi tonta.
Ecco la prima espressione
5 + ( 3 + 8 ) – 7 =
In quest’espressione si svolge prima l’operazione nella parentesi e si ricopi
tutto quello che è fuori dalla parentesi.
Nella parentesi abbiamo
3 + 8
Che fa
11
Che va messo al posto della parentesi.
Allora avremo che
5 + 11 – 7 =
Da quest’ultima operazione avremo il risultato che è.
9
E l’espressione è fatta.
Vediamo un’altra espressione
49 - ( 7 + 13 ) - ( 51 – 42 ) + 4 =
Come detto, iniziamo prima dalle parentesi tonde da cui:
Dalla prima avremo che
( 7 + 13 ) = 20
e dalla seconda avremo che
( 51 – 42 ) = 9
Mettendo i numeri
20 e 9
Al posto delle rispettive parentesi in altre parole
( 7 + 13 ) e ( 51 – 42 )
Il prossimo passaggio sarà
49 – 20 – 9 + 4 =
Facendo questo conto, otteniamo il risultato che è
24
e anche questa seconda espressione è fatta.
Vediamo un’altra espressione con le parentesi quadre
20 – [ 37 - ( 23 + 18 – 36 ) – 28 ] =
ATTENTO.
C’è da tenere bene la seguente regola
In un’espressione dove ci sono presenti le tre parentesi, di svolgono prima le tonde, poi le quadre e in fine le graffe.
Adesso passiamo a mettere in pratica questa regola.
Riscriviamo l’espressione
20 – [ 37 - ( 23 + 18 – 36 ) – 28 ] =
Come detto, risolviamo prima le parentesi tonde, in altre parole.
23 + 18 – 36 = 5
Il 5
Lo scriviamo al posto delle parentesi tonde e avremo.
20 – [ 37 - 5 – 28 ] =
Il 20
Lo scriviamo al posto delle parentesi quadre e avremo.
20 – 20 = 0
Lo 0
E’ il risultato dell’espressione.
Allora l’espressione sarà svolta in questo modo.
20 – [ 37 - ( 23 + 18 – 36 ) – 28 ] =
= 20 – [ 37 - 5 – 28 ] =
= 20 – 20 = 0
Adesso vedremo un’espressione con le parentesi graffe.
{[( 18 – 4 – 6 ) + ( 11 – 5 – 4 ) – 9 ] + 15 } – 10 =
Incominciamo a risolvere le parentesi tonde.
Risolviamo la prima parentesi tonda
18 – 4 – 6 = 8
Adesso risolviamo la seconda parentesi tonda
11 – 5 – 4 = 2
Sostituiamo le parentesi tonde con il loro risultato
{[ 8 + 2 – 9 ] + 15 } – 10 =
Adesso risolviamo la parentesi quadra
8 + 2 – 9 = 1
Sostituiamo la parentesi quadra con il suo risultato
{ 1 + 15 } – 10 =
Adesso risolviamo la parentesi graffa
1 + 15 = 16
Sostituiamo la parentesi graffa con il suo risultato
16 – 10 = 6
Il 6
E’ il risultato dell’espressione.
Allora l’espressione sarà svolta in questo modo.
{[( 18 – 4 – 6 ) + ( 11 – 5 – 4 ) – 9 ] + 15 } – 10 =
= {[ 8 + 2 – 9 ] + 15 } – 10 =
= { 1 + 15 } – 10 =
= 16 – 10 = 6
Il 6
E’ il risultato dell’espressione.
Con questi tre esempi abbiamo visto come si svolgono le espressioni del primo tipo.
Secondo tipo
ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONI
Prima di incominciare il secondo tipo d’espressioni, dobbiamo imparare.
La regola importante
Che è la seguente regola
In un’espressione o parentesi dove compaiono le quattro operazioni, si svolgono prima le moltiplicazioni e le divisioni e dopo le addizioni e le sottrazioni.
Ti raccomando di imparare bene questa regola e di non dimenticarla mai, perché ti servirà per tutto il programma che dovrai studiare durante i tre anni della scuola media.
Detto questo, incominciamo con qualche esempio.
Iniziamo con la prima espressione
26 – 12 : 2 + 15 x 4 – 13 + 18 : 9 – 44 =
Vediamo come risolvere quest’espressione, con la regola importante che abbiamo scritto poco fa.
Dunque.
Abbiamo affermato che prima si svolgono le moltiplicazioni e le divisioni e dopo le addizioni e le sottrazioni, perciò dobbiamo risolvere:
12 : 2 =
15 x 4 =
18 : 9 =
Risolviamo queste operazioni
12 : 2 = 6
15 x 4 = 60
18 : 9 = 2
Adesso nell’espressione al posto di queste operazioni mettiamo il loro risultato, anzi prima di fare questo, riscriviamo l’espressione di partenza e facciamo il passaggio con i risultati delle operazioni svolte, in altre parole:
26 – 12 : 2 + 15 x 4 – 13 + 18 : 9 – 44 =
= 26 – 6 + 60 – 13 + 2 – 44 =
Penso che quello che abbiamo fatto, è tutto chiaro.
Ora come vedi, sono rimaste le addizioni e le sottrazioni, con le quali faremo tutto un conto, dal quale si ha
25
Che sarebbe il risultato dell’espressione.
Abbiamo visto un’espressione con le quattro operazioni senza parentesi.
Adesso vedremo qualche espressione con le parentesi.
Iniziamo solo con le parentesi tonde.
Eccola qua.
( 7 x 3 + 14 : 2 ) : 4 + ( 36 : 9 +6 : 2 ) : 7 =
Adesso la svolgo, dopo di che cercherò ti spiegarti ogni passaggio che abbiamo fatto.
Adesso ti svolgo l’espressione e la scorniciamo.
( 7 x 3 + 14 : 2 ) : 4 + ( 36 : 9 + 6 : 2 ) : 7 =
= ( 21 + 7 ) : 4 + ( 4 + 3 ) : 7 = 1° passaggio
= 28 : 4 + 7 : 7 = 2° passaggio
= 7 + 1 = 8 3° passaggio
Passiamo alla spiegazione.
1° PASSAGGIO
Secondo la regola fondamentale abbiamo svolto nelle parentesi
Le moltiplicazioni e le divisioni,
Giacché nelle parentesi c’era anche il segno
+
Abbiamo mantenuto
Le parentesi,
Dato che non avevamo svolto tutte le operazioni dentro le parentesi.
2° PASSAGGIO
Abbiamo finito di svolgere le operazioni dentro le parentesi e come puoi notare, sono andate via.
3° PASSAGGIO
Ancora una volta abbiamo applicato
La regola fondamentale,
volgendo
Le divisioni.
Fatto ciò, è rimasta l’ultima operazione che abbiamo svolto, ottenendo.
Il risultato,
In altre parole
8
Adesso ti farò vedere un’espressione svolta con le parentesi quadre.
Eccola qua:
[ ( 3 + 5 x 8 – 48 : 4 ) - ( 2 x 7 + 5 – 78 : 6 ) x 4 ] : 7 =
= [ ( 3 + 40 – 12) - ( 14 + 5 – 13) x 4 ] : 7 =
= [ 31 – 6 x 4 ] : 7 =
= [ 31 – 24 ] : 7 =
= 7 : 7 = 1
Adesso ti farò vedere con lo stesso metodo un’espressione con le tre parentesi, in altre parole:
tonde
quadre
graffe
Eccola qua:
{54-[(11x3-25)x6-(5x20-4):12+10]}x[8x9:(3x9-6x3)-95:19]=
= {54-[(33-25)x6-(100-4):12+10]}x[8x9:(27-18)-95:19]=
= {54-[8x6-96:12+10]}x[8x9:9-95:19]
= {54-[48-8+10]}x[8-5]=
= {54-50}x3=
= 4x3=12
Ancora un’altra.
3 x 4 + {36 : [(6 x 4) : (3 + 9 : 3 + 2) + 3] – 4 x (25 : 5 - 4)} =
= 3 x 4 + {36 : [24 : (3 + 3 + 2) + 3] – 4 x (5 - 4)} =
= 3 x 4 + {36 : [24 : 8 + 3] – 4 x 1} =
= 3 x 4 + {36 : [3 + 3] – 4 x 1} =
= 3 x 4 + {36 : 6 – 4 x 1} =
= 3 x 4 + {6 – 4} =
= 3 x 4 + 2 =
= 12 + 2 = 14
Con quest’espressione abbiamo finito di spiegare corrente capitolo molto importante.
Ti raccomando di impararlo molto bene.
CAPITOLO 8
LE POTENZE
Fin qui hai sempre imparato bene le quattro operazioni e con loro le prime espressioni.
Da ora in poi conoscerai e studierai cose nuove che agiscono parte dello studio della scuola media.
Iniziamo subito a conoscere e a studiare
LA POTENZA
Vediamo di che cosa si tratta.
Certamente ti è capitato di vedere una serie di moltiplicazioni per lo stesso numero, come:
3 x 3 x 3 x 3 x 3 =
oppure
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 =
Come puoi vedere, questi tipi di scrittura sembrano un po’ lunghi, figuriamoci poi se un numero lo dobbiamo moltiplicare più volte e ci capiterà di avere una serie di moltiplicazioni sempre più lunga.
Queste operazioni le posiamo scrivere in un altro modo che noi chiameremo.
POTENZA
Vediamo come.
Prendiamo il primo esempio:
3 x 3 x 3 x 3 x 3 =
Come vedi, il
3
E’ stato scritto
5 volte
Allora quest’operazione di moltiplicazione per lo stesso numero si può scrivere sotto forma di potenza, in altre parole:
35 = POTENZA
In altre parole:
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35
E si legge:
35 = tre alla quinta 126 = dodici alla sesta
410 = quattro alla decima 72 = sette alla seconda
Ecco che abbiamo imparato:
LA POTENZA
Allora affermeremo che:
La potenza è una successione di moltiplicazioni per uno stesso numero.
Adesso che abbiamo imparato
La potenza
Incominciano a studiarla
Partiamo dalla nostra potenza:
35
Come vedi, la potenza è formata da due numeri.
Adesso vedremo come sono chiamati.
Dunque:
Il 3 è chiamato BASE
e
Il 5 è chiamato ESPONENTE
Facciamo il secondo schema per capire meglio.
ESPONENTE
35 = POTENZA
BASE
Adesso impariamo una regola importante.
Una potenza che ha come base una qualsiasi base e come esponente esponente zero, è sempre uguale a 1.
Vediamo qualche esempio
30 = 1 150 = 1 720 = 1 5840 = 1
Penso che è tutto chiaro.
Dietro a questo libro troverai delle tabelle le quali ci aiuteranno a trovare le potenze alla seconda e alla terza.
Vediamo come funzionano.
Prima di tutto scriviamo un pezzo di tabella.
n n2 n3
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 729
10 100 1000
11 121 1331
12 144 1728
13 169 2197
14 196 2744
15 225 3375
Vediamo come funziona.
Questa tabella ci aiuta a trovare le potenze senza fare i conti.
Ad esempio.
Vogliamo sapere il valore della potenza
52
E’ chiaro che faremo:
5 x 5 = 25
In altre parole
52 = 25
Ma vediamo come si trova
52
Con la tabella.
Come puoi vedere, abbiamo in tabella tre colonne che sono chiamate.
n n2 n3
Allora nella potenza
52
Il 5 lo troveremo sulla colonna
n
Poi essendo alla seconda sulla colonna
n2
Troveremo il numero corrispondente al
5
Che è il
25
In altre parole
52 = 25
Vediamo un’altra potenza.
Ad esempio
83
Allora sulla colonna
n
Prenderemo il numero
8
Essendo elevato alla terza andremo sulla colonna.
n3
Dove troveremo il numero
512
Allora affermeremo che
83 = 512
ESPRESSIONI CON LE POTENZE
Detto questo sulle potenze, passiamo all’espressione, risolvendo prima le potenze e poi trovando la soluzione normalmente con la regola fondamentale che hai studiato al capitolo 7.
Iniziamo con la prima.
Eccola.
2 + 42 x 7 – 23 x 2 + 152 : 32 – 32 x 2 =
Risolviamo prima le potenze riportando anche l’espressione.
2 + 42 x 7 – 23 x 2 + 152 : 32 – 32 x 2 =
= 2 + 16 x 7 – 8 x 2 + 225 : 9 – 9 x 2 =
A questo punto la riportiamo e la finiamo di risolvere normalmente con la regola fondamentale.
2 + 42 x 7 – 23 x 2 + 152 : 32 – 32 x 2 =
= 2 + 16 x 7 – 8 x 2 + 225 : 9 – 9 x 2 =
= 2 + 112 – 16 + 25 – 18 = 105
Ecco fatta.
Un’altra uguale a questa tutta risolta
33 + 4 x 7 – 52 x 2 + 43 : 22 + 70 – 32 =
= 27 + 4 x 7 – 25 x 2 + 64 : 4 + 1 – 9 =
= 27 + 28 – 50 + 16 + 1 – 9 = 13
Pure questa è fatta.
Vediamo questa.
( 2 x 4 + 1 )2 =
Come vedi, fuori delle parentesi c’è una potenza. Questo vuol affermare che il risultato della parentesi va elevato alla potenza.
Vediamo come si svolge:
( 2 x 4 + 1 )2 =
= ( 8 + 1 )2 =
= 92 = 81
Pure questa è fatta
Un’altra ancora.
(52 – 23 x 3)3 =
In quest’espressione risolviamo prima la parentesi, facendo prima le potenze, poi applicando la regola fondamentale e alla fine il risultato lo
eleviamo alla terza potenza da cui arriviamo al risultato.
Adesso la risolviamo.
(52 – 23 x 3)3 =
= (25 – 8 x 3)3 =
= (25 – 24)3 =
= 13 = 1
Adesso ti farò vedere un’espressione più completa, dove le frecce ti aiuteranno a seguire come va svolta.
{ 5 x [ 10 – 2 x (21 – 5 x 4)2]2} : 80 + [19 : (3 + 2 x 8)]2 =
= { 5 x [ 10 – 2 x (21 – 20)2]2} : 80 + [19 : (3 + 16)]2 =
= { 5 x [ 10 – 2 x 12]2} : 80 + [19 : 19]2 =
= { 5 x [ 10 – 2 x 1]2} : 80 + 12 =
= { 5 x [ 10 – 2 ]2} : 80 + 1 =
= { 5 x 82} : 80 + 1 =
= { 5 x 64} : 80 + 1 =
= 320 : 80 + 1 =
= 4 + 1 = 5
Penso che è tutto chiaro, ma non finisce qui perché ci sono tre regole molto
importanti che serviranno per tutto il resto della matematica che dovrai studiare nel corso di questi tre anni.
Vediamo quali sono:
Prima regola.
PRODOTTO DI DUE O PIU’ POTENZE A BASE COMUNE
REGOLA
Il prodotto di due o più potenze a base comune è uguale ad una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.
Vediamo un esempio.
23 x 24 = 27
Vediamo cosa abbiamo fatto.
Coma vedi, le potenze hanno la sessa base in altre parole.
2
Allora al risultato abbiamo messo la stessa base in altre parole.
2
Intanto gli esponenti
3 e 4
Li abbiamo sommati, in altre parole abbiamo fatto
3 + 4 = 7
Ecco che abbiamo ottenuto come risultato:
27
ATTENTO
Se abbiamo
32 x 24 =
In quest’esempio non possiamo applicare la regola, perché le basi non sono uguali perciò risolveremo le potenze e poi faremo la moltiplicazione in questo modo:
32 x 24 =
= 9 x 16 = 144
Seconda regola.
DIVISIONE DI DUE POTENZE A BASE COMUNE
REGOLA
La divisione di due o più potenze a base comune è uguale ad una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.
Pure qui vediamo un esempio:
28 : 23 = 25
In altre parole con gli esponenti abbiamo fatto.
8 – 3 = 5
Penso che è tutto chiaro come la moltiplicazione.
Terza regola
POTENZA DI POTENZA
REGOLA
La potenza di potenza è uguale ad una potenza che ha come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti.
Vediamo un esempio.
(23)4 = 212
In altre parole abbiamo fatto
3 x 4 = 12
Facile eh!
Attento che queste tre regole si possono trovare nelle espressioni perciò devi stare attento a riconoscerle.
Adesso ti farò vedere delle espressioni speciali con queste tre regole.
Guarda questa
[(34 x 32)3 : 310]2 =
= [(36)3 : 310]2 =
= [312 : 310]2 =
= [32]2 = 34
Ancora un’altra
{[25 x (25 : 23)2]3 : 221}2 x 24 =
= {[25 x (22)2]3 : 221}2 x 24 =
= {[25 x 24]3 : 221}2 x 24 =
= {[29]3 : 221}2 x 24 =
= {227 : 221}2 x 24 =
= {26}2 x 24 =
= 212 x 24 = 216
Pure questa è fatta.
Scusami, ma ci sono altre due regole.
Ecco la prima.
Il prodotto di due o più potenze con lo stesso esponente è uguale al prodotto di tutte le basi elevato allo stesso esponente.
Vediamo il seguente esempio.
23 x 43 = ( 2 x 4 )3 = 83
Un altro esempio.
39 x 29 x 59 = ( 3 x 2 x 5 ) 9 = 309
Penso che è tutto chiaro.
Vediamo la seconda regola.
La divisione di due potenze con lo stesso esponente è uguale alla divisione delle basi elevata allo stesso esponente.
Vediamo un esempio.
85 : 45 = ( 8 : 4 ) 5 = 25
Spero che è tutto chiaro.
34) 37 + 72 – 43 – ( 3 + 8 – 23 )2 + 15 = [14]
35) ( 22 + 24 ) : 5 + ( 5 + 5 x 24 – 10) : ( 34 – 32 ) = [7]
36) ( 22 x 32 x 5 – 3 x 23 : 6 – 5 x 33 + 4) : 5 - ( 2 x 3 – 3)2 = [0]
37) 4 + 5 x [ 4 + 5 x ( 23 – 22 – 2) – 7] – 62 = [3]
38) 5 + 2 x [5 + 2 x (5 + 22) : 3 – 32] – 2 x 3 = [3]
39) [( 55 : 53 + 1) : (23 + 45 : 32) + 1]2 x 2 – ( 75 : 73 – 40) = [9]
40) [(7 x 23 – 24) : (2 + 33 – 32) + 33 x 2]2 : [102 + ( 3 x 5 – 5 )2] = [2]
41) [ (53 – 23 ) : (5 – 2) – 3] : [( 72 – 32 )] : 4 – (52 – 32 x 2 )]2 = [4]
42) [(32 + 3 x 5) : 12]2 + 24 : 4 – [(22 x 5 – 9 x 2)2 : 4] = [9]
43) [23 x 5 + (42 x 33 – 2 x 53 – 67 : 65) : 73 + 8] : 52 = [2]
44) [42 : 2 x 5 – 3 x (24 – 4)]2 : [52 – (32 – 5)2 – ( 23 – 1 )]3 = [2]
45) [( 72 – 3 x 24 )5 x (26 – 32 x 7)4 + (23 x 5 – 34 : 32 )] : 44 = [2]
46) 2 x 10 – 32 x (42 – 2 x 7) + (22 + 1) x [5 x (22 – 3)2 – 22] – 22 + 2 = [5]
47) 3 + 24 x (23 – 8)3 + 12 x (42 – 32) – 22 x [(52 – 3 x 8)2 + 32 x 2] = [11]
48) [2 x (53 : 5 – 13) + 32 x 22 _ 2 x 52]2 : (3 x 23 + 1) = [4]
49) 22 + 24 x [(32 + 72 x 3) : 2 – 52 x 3]2 : [32 – (22 + 32 _10)] + 4 = [32]
50) (35 : 5 + 2 x 112) : 83 + [103 – 32 x (23 + 3)]2 = [19]
51) (82 – 3 x 23) : 23 + [( 43 + 1) : 5 – 21 : 3]2 : (22 x 3 + 6) = [7]
52) 29 : 23 – 3 x [37 : 34 – (24 + 23) : (33 : 3 – 3) – 22 x 5]2 – (1 + 25) = [4]
53) (32 + 26 – 23 x 32)5 x 52 + [63 – (26 – 24 x 3)] : 5 = [65]
54) 15 – 22 x (43 – 5 x 9 – 18) + (3 + 2 x 5)2 : [23 – 5 x (6 – 22 )] = [24]
